我也不知道这个问题原本叫什么，应该是有名字的，所以姑且就叫多人开锁问题了。
查出来了，这个东西叫门限方案，但是懒得改标题了。
$m$个人，需要任意至少$n$个人才能打开所有的锁，问最少需要多少把锁，每人最少拿多少把钥匙。
需要满足：
- 对任意锁，需要任意$n$个人都能打开。
- 对所有锁，需要至少$n$个人才能打开。
对于每一把锁，设一个长度为$m$的向量，每个元素可能的取值为${0,1}$，表示每个人是否持有这把锁的钥匙，1为持有钥匙，0为不持有钥匙。
只有当选取的$n$个元素全为0时，无法打开这把锁，所以显然当向量中0的数量小于$n$时，任意选取$n$个人都能打开这一把锁。
所以要保证任意$n$人都能打开，每把锁的钥匙数量至少为$k\ge m-n+1$。
设每把锁的钥匙数量都为$k=m-n+1$
这保证了任意一把锁，都一定能被$n$个人打开，即$n$个人一定能打开所有锁。
对于每一把锁，小于$n$人一定有至少一种情况为全0，即打不开这把锁。
如果锁包含了钥匙的所有组合，即锁的数量为$S\ge C_m^k$，这样就能够限制至少要$n$人才能打开所有的锁。
如果选取任意小于$n$人，则一定会出现至少一把锁打不开的情况。
所以要保证至少$n$人才能打开所有锁，锁的数量至少为$S\ge C_m^k$
因为$C_m^k$已经包含了锁的所有组合，再增加一把锁，它的钥匙组合一定会跟前面的重复，不能起到限制作用。
因为题目问至少多少把锁，所以可以确定锁的数量就为$S=C_m^k$
在每把锁的钥匙数量为$k=m-n+1$，锁的数量为$S=C_m^k$的情况下，一切都非常完美。
唯一的不足就是锁的数量是通过假设了每把锁的钥匙的数量都是$k=m-n+1$证明出来的，以及没有考虑每把锁的钥匙数量有没有可能不同的情况。
实现了个简单的可视化的过程，可以用于快速验证，网址链接在这里。
之前我以为只适用于$m$为奇数的情况，但是其实这个适用于$m$和$n$为任意值的情况，之前只是我举例子的时候写错了，我也是写完那个小程序才发现。