本文为与基地的学弟交流讨论的过程的记录。
起因
一年一度的基地招新又要开始了，为了显得没那么水，我觉得每年还是要出点新题，不能总是使用题库的旧题，所以我就叫现在的副主席来出题，他最近好像莫名的跟马踏棋盘杠上了，然后我们就进行了一些讨论。
最初版最优步数公式解
下面是他最开始给我看的公式，以及他打印的图
他的公式是如何得出的我就不太清楚了，但是可以看出这个版本看起来还很复杂，而且有很多特例（没办法在[-4,4]x[-4,4]的区域确实很特殊），于是我也加入了寻找公式求解的方法。
我最初的错误思路
为了方便写，我们决定先把范围限制在$0\le x\le y$，对于$[0,4]$区域内就直接查表，我的想法是选择两种减小xy坐标且曼哈顿距离减少最快的走法的组合，来快速进入可查表的范围然后查表来解，我选择的是$(3,3)$和$(0,4)$，但是后来发现两个问题，一是表不一样，得初始一张，移动后修正一张，但是这样依然不能保证进入查表范围之后是在最优位置，所以这个凭感觉的想法宣告错误。
三元最优化问题
之后我又提出了另一个错误的猜想，任何一个点都能只使用三种步法到达，在$0\le x\le y$内是$(1,2),(2,1),(-1,2)$，然后我列出了下面这个东西
然后最优步数就是$\min (a+b+c)$
稍微化简一下能得到
然后最优步数就是$\min (x-y+2t)$，但是这里面有一个很大的问题，abc必须大于等于0，有些时候会没有解，所以三种步法应该是不一定能走到。
四元最优化问题
最后就是我的最终版本，绝对正确的方程组，唯一的问题就是解不出来
理解还是很简单的，abcd分别就是$(1,2)(2,1)(-1,2)(2,-1)$四种步法走多少步，负数步数就是反方向走，可以很显然的看出最优走法顺序无关，以及最优走法不会回头，出现第五种步法一定会跟前面四种反向，所以只需要四种步法就能走出最优解。
用最优步数作为第三个方程
之后我把这个方程组给了学弟，他直接用他的最优步数公式作为第三个方程，然后对abcd分别为负的16种情况进行了讨论，最终得出了能够求出最优步数和最优走法的解族。
并且做出了个网页版：无限马踏棋盘。不过有一说一，他这个网页版的操作属实逆天，左键右键的各种排列组合，移动端适配更是逆天完了，一种没被现代人机界面交互方式污染过的美。
最优步数公式后续简化
他的后续优化
最优化走法的最终解法
多亏了他的网页版，在大量的观察下，我也终于完成了我之前的最优化问题的解法。
根据我之前的说法，只需要四种步法就可以以最优走法走到目标位置。
四种步法中，一定有一种步法占主导，且恒不为负，我们称它为主导步。然后在另外三种中有一种至多走了1步，即属于[-1,1]，用于修正只用3种步法可能需要绕路的情况（即我之前三元的时候没有想到的），我们称它为修正步。
如果在$0\le x\le y$举例子的话就是，a占主导，因为目标在右边靠近y轴，使用$(1,2)$的话减少的曼哈顿距离最多，所以a占主导。然后我们可以分别讨论bcd作为修正步，然后将前面的两个方程变成下面这样
或
然后用约束$a\ge0$，以及修正步属于[-1,1]可以求解最优步数。
然后这个问题显然具有对称性，对于任意x和y，可以先进行预处理，如改正负号和交换xy来变到$0\le x\le y$，然后求出abcd之后进行逆变换，得到原问题的解。
一些对应的变换
上述变换可以进行组合，如
这个解法对于[0,4]内的特例可能不适用，但是无所谓了。