3.2 更多的元胞自动机

下面的图片呈现了本书封面四个元胞自动机使用的规则。总体来说每种规则的结构是一样的，不同的是颜色的组合。（每个方框都可以选择两种图案）

结果就有256种不同的组合（2^8=256），编号0~255.

但是元胞自动机有了这么多规则会怎么表现呢？下一页显示了一些细节上的例子，再往下面两页呈现了全部的256种可能情况。

在一开始，可以看到压倒性的多样性。但是仔细观察，明确的主题出现了。

在一些最简单的例子中，元胞自动机中最后一步所有的细胞和第一步之后的细胞颜色是一样的。

举个例子，规则0和规则128，所有元胞都变为白色，规则255所有都变成黑色。还有规则7和127在黑色白色之间交替。

但是在前几页的大部分规则中，唯一共有的行为是一个由单独元胞或者小团体组成的模式。有时候这个模式保持稳定，就像规则4和123，但有时候，比如2和103，它往左或往右移动。

其实这里讨论的元胞自动机的基本结构意味着其任何移动的最大速度都必须是每步一个元胞。在许多规则下，都达到了最大速度——即使是规则3和103，平均速度也到了每步半个元胞。

在三分之二的元胞自动机中，这些模式保持了固定的尺寸。但在三分之一的例子中，这些模式一直在增长。对这种增长模式，最简单的类型是纯粹的重复，比如规则50和109。但是尽管重复模式都有常见的边缘，仍有大约14%的元胞自动机产生了复杂的模式。

最常见的是嵌套模式，比如下一页将要展示的。事实上尽管24个规则产生了嵌套模式，只发生了三种基本不同的形式。最简单的是最常见的，如规则22和60。但是正如下一页的图片展示的，其他嵌套的模式也有可能。（在规则225的例子中，整个模式的宽度并没有以一个固定的比率提升，而是与步数的平方根成比例。）

（p57）

生成嵌套或者分形图形的例子。规则22——就像26页的规则90——给出了一个分形维度Log(2,3)≈1.59的模式；规则159给出了一个分形维度Log(2,1+√5)≈1.69的模式。从规则225获得的模式宽度以步数的平方根递增。

重复和嵌套是许多元胞自动机的主题。但当我们看之前的章节，似乎也可能产生一个看上去随机的模式。在讨论的256个规则中，事实上有10种表现出随机性。下页将展出主要的三种基本模式。

（p58）

看上去产生了随机特性的元胞自动机的例子。展示了三百步的演变，均从单个黑色元胞开始。

（p59）

除了随机性，上一章最后一个例子，110号自动机，其行为由复杂的规律与不规律的区域混合。这个特别的元胞自动机本质上是独立于256个规则外的：四种情况都能看到，互换左右和黑白都是等价的。

还有更复杂的元胞自动机规则吗？

我们讨论的256个基本规则目前为止都是最简单的情况——也就是我最开始研究的。但如果我们将颜色扩充到三种而不是两种，元胞不再是非黑即白，还有一种灰色。可能的规则数目就会立即膨胀到——762597484987种——但如果只考虑用“极端(totalistic)”的情况，就容易管理了。

极端情况规则的想法是将每个新的颜色依赖于其近邻的平均颜色，而不是某个个体的颜色。下面的图片演示了其中一个例子是如何运作的。在三种可能的颜色下，共有2187种可能的极端规则，每一种都能由编码表示。下一页会给出一些代表性的规则。

有三种可能颜色下的极端元胞自动机。规则建立在每个元胞新的颜色是由其近邻的平均颜色决定的。0代表白色，1代表灰色，2代表黑色，最右的规则里每个元素都是0，平均是0，其左边一个规则代表平均颜色是1/3。新颜色的序列可以用一个三位数来表示，可以用这个编码来代表每一个极端规则。

（p60）

一系列有三种颜色的极端元胞自动机。尽管它们的基本规则很复杂，元胞自动机在这里展示的相比于两色元胞自动机，并没有太复杂的行为。注意这些序列的规则，改变白色背景的规则没有包含进来。所有模式的对称性是极端模式的基本结构。

（p61）

我们可能期望使用3种颜色而不是两种能够得到更为明显和复杂的行为。但事实上，我们在前一页看到的和我们之前的看到的基本元胞自动机有什么不同。有更复杂的规则似乎并没有使得行为更加复杂。

事实上，这是一次重要的通用现象的指示：至少在某个界限点之前，增加系统潜在规则的复杂性并没有使得行为更为复杂。比如说在元胞自动机的例子中，似乎所有产生复杂行为的基本要素已经在基本规则中存在了。

使用复杂的规则可能会便于再现特定自然系统中的细节，但是根本上它没有添加新的特性。其实，通过之前页的图就可以看出基本元胞自动机的主题。有一些能够达到确定大小的模式，然后不断重复，就像下面演示的，不断生长重复的形式，还有下一页的顶部的图，其他图产生了嵌套和分形的模式，在下一页底部。

三色极端规则下产生的能够得到确定大小的模式，且不断重复。最大的重复周期是78步，由1329号规则得到。本页和下页图中的初始条件均为一个灰色元胞。

（p62）

三色极端规则下不断增长但有基本的重复结构。

三色极端规则下产生嵌套嵌套模式，在大多数例子中，这些模式，有一个通用的与两色相同的模式，但是比如420号规则，产生了略微不同的结构。

（p63）

产生近似随机特性的三色极端规则的例子。这里各演示了三百步。

（p64） 在细节上，一些模式肯定比那些在基本规则中看到的更复杂。但在整体行为层面上，没有根本的区别。在嵌套模式的情况下，即使是特定结构也通常与基本规则相同。比如，237号和948号的结构是最常见的，其次是1749号。在基本规则中还未见过的新结构是420号，但这只是很少发生。

大约85%的极端规则的元胞自动机产生的行为都是很规律的。但是就跟基本元胞自动机一样，在某些规则上的行为看上去也是随机的。就像上一页给出的一些例子。

除了相当均匀的随机行为外，也有类似于基本规则110的情形，其中确定的结构以复杂的方式相互作用。下一页给出了一些例子。在第一个案例中，该模式在大约150步之后重复出现。然而，在另外两种情况下，不太清楚最终会发生什么。下面的页面将继续这些模式，执行3000步。但即使在这么多步之后，最终的行为将会是什么还不清楚。

看着这些图，第一次开始觉得很难相信它们是有很简单的元胞自动机规则产生的。事实上，即使一个人接受了这一点，仍然有一种倾向，认为某一个人看到的必然是元胞自动机的某些特殊特征的结果。

事实证明，复杂性在元胞自动机中很常见，很幸运的是我第一个决定研究的系统就是它。

但正如我们将要在本章余下内容所看到的一样，我们在前面发现的基本现象并不仅仅是发生在元胞自动机。尽管元胞自动机是很好的例子，但我们会发现，许多不同的系统中会表现出极其相似的行为。

（p65）

三色极端规则中有着规律与不规律混合的行为的例子。分割成的可识别结构与32页110号规则相似。

（p66）

（p67）

66页的两个元胞自动机执行3000步后的情况。尽管潜在规则很简陋，最终产生出的模式却很复杂。在这两种情况下，并不清楚最终结果会怎样——是结束随机性，还是产生简单的重复形式。

（p68） 下面的图演示了极端规则的元胞自动机的模式增长，在最初十分复杂，但是在一百步之后，四个中的三个的形式变得简单起来。

然而接下来的这个模式要复杂的多，下一页会演示，虽然几千步的简单增长都是不规律的，但是增长越来越缓慢。而且内部的模式开始消亡。尽管会有偶然爆发的增长，但是最终，8282步后，模式变为了简单的重复结构。 （p69）

1599号三色元胞自动机九千步的进化。从最开始一个灰色元胞，每一列都有三千步，进化最终在8282步后变得清晰，其模式变成了31个简单重复结构。

（p70）