4.8 连续元胞自动机
尽管它们有所不同,但前一章中讨论的各种程序有一个共同点:它们都基于只能采用一组离散的可能形式的元素, 通常只是黑色和白色。 在本章中,我们通过考虑数字序列,在我们对基于数字的系统的研究中引入了一种类似的离散性, 其中每个数字可以只有一组离散的可能值,通常只有0和1。
所以现在出现的一个问题是,我们在前三章中看到的所有复杂性在某种程度上取决于我们所看到的系统中元素的离散性。
为了解决这个问题,本节我要做的是考虑元胞自动机的推广,其中每个细胞不仅仅是黑色或白色, 而是可以具有连续范围的可能灰度级别。 我们可以通过使用规则来更新每个单元格的灰度级, 这些规则在我们上一章开始时讨论过的总体元胞自动机规则和我们在前一节中讨论的迭代映射之间是交叉的。
这个想法是看一个单元格及其直接相邻单元的平均灰度级,然后通过对结果应用一个固定的映射来获得该单元格的灰度级。 下图显示了一个非常简单的情况,其中每个单元格的新灰度级恰好是该单元格及其直接邻居的平均值。 从单个黑色单元开始,在这种情况下发生的情况是,灰色基本上只是散开,最后留下一个统一的图案。
下一页的图片显示了稍微更复杂的规则时会发生什么情况, 其中平均灰度级乘以3/2,如果结果大于1,则只保留小数部分。
(p156)
具有更复杂规则的连续元胞自动机。 该规则将每个单元格的新灰度级别作为单元格的平均灰度级别的小数部分,并将其邻居乘以3/2。 图片显示,从一个黑色单元开始,这个规则产生了相当复杂的行为。 请注意,对各个平均灰度级执行的操作正好是第150页(a)进行的迭代映射。
我们看到的是,尽管存在连续的灰度级, 但所产生的行为表现出与我们在许多普通元胞自动机和其他具有不连续基本元素的系统中所见到的相同的复杂性。
(p157)
事实证明,在连续的元胞自动机中,只需要非常简单的规则就可以产生相当复杂的行为。 所以作为一个例子,下面的图片显示了一个规则, 它通过给单元及其直接邻居的平均灰度级添加常数1/4来确定单元的新灰度级,然后取得结果的小数部分。
一个连续的元胞自动机,其规则为单元及其直接相邻元素的平均灰度级添加常数1/4,并取小数部分。 背景简单地重复每4个步骤,但主要模式具有复杂且在许多方面是随机形式。
后面两页显示了当为添加的常量选择不同的值时会发生什么。 可以看到各种不同的行为。 有时候,这种行为是纯粹的重复行为,但通常它具有看起来有效的随机特征。
(p158)
连续元胞自动机具有与上图相同的规则,但添加了各种不同的常量。 请注意,与其数字序列这样的属性似乎决定了每种情况下产生的整体行为形式不同,常量的大小并不那么大。
(p159)
在连续元胞自动机的演化中采用了与前一页相同规则的更多步骤。 为了去除均匀的条纹,中间的图片显示了每个单元的灰度级和其直接邻居之间的差异。 即使系统的基本规则涉及连续的灰度级,也要注意离散的局部结构的存在。
(p160)